SỰ PHỐI HỢP THÚ VỊ CỦA HAI BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-AKOP-SKI VÀ
JEN-SEN TRONG GIẢI TOÁN.
( Nguyễn Tiến Minh Giáo viên THPT Hồng Lam )
I.NHẮC LẠI HAI BẤT ĐẲNG THỨC.
1. Bất đẳng thức Bu nhiakopski:
Với 2n số thực tùy ý
và
Ta luôn có:
. (*)
Dấu ‘ = ‘ xẩy ra khi và chỉ khi:


2.Bất đẳng thức Jen-sen: cho hàm số
với k là số thực
và x > 0. Ta có:

. (**)
Dấu ‘ = ‘ xẩy ra khi và chỉ khi

II. ĐIỂM XUÁT PHÁT.

1.Bài toán thứ nhất :
Cho 3 số dương a, b , c thõa mãn : a + b +c =

Tìm GTNN của F =
.
Lời giải .Theo giả thiết và theo Bu nhi akopski ta có :
Ta có : 1



Ta lại có theo Bu nhi akopski :

Từ (1 ) và ( 2 ) ta có


.
2.Các hướng tiếp cận về sự mở rộng bài toán .
Bài toán mở rộngI : ‘ Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F
=
Với m
và k là các số nguyên dương cho trước’’

Bài toán mở rộngII : ‘ Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F
=
Với m
và k là các số nguyên dương cho trước’’

Bài toán mở rộng III.  : ‘ Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F
=
Với m
và k là các số nguyên dương cho trước’’
Bài toán Mở rộngIV.   : ‘ Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F
=
Với m
và k là các số nguyên dương cho trước’’ và

là tổng của 2 số
và
và
.
Bài toán mở rộng V. ‘’ : ‘ Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F
=
Với m
và k là các số nguyên dương cho trước’’ và

là tổng của( n-1) số trong các tập con gồm ( n-1 ) phần tử của

Sau đây là sự kết hợp của hai bất đẳng thức Bunhiakopski và bất đẳng thức Jen-sen để
giải bài toán mở rộng V:
Ta có
F
=


( với
.
Dễ thấy
n-1. Theo Bunhiakopski ta có :



(1)
Theo bất đẳng thức Jensen với hàm lồi y =
khi m
( nếu m =2 bđt sau đúng ) ta có :



và hàm lồi

(còn k =1 bất đẳng thức sau đúng)

(2) . Từ bất đẳng thức (2)và (1) ta suy ra :

Dấu ‘=’
( i = 1,2...n).
Tương tự giải như bài toán toán mở rộng V .
Ở các bài toán mở rộng I ta có :
( với
)
Khi đó Min F


Ở các bài toán mở rộng II,III và IV ta có :
( với
)

( với
) ta sẽ có chung một kết quả là
Min
.
Nhận xét : - Trong các bài toán mở rộng V điều kiện m
là hết sức cần thiết để đảm bảo cho hàm số y
là lồi trên ( 0 ;
để sử dụng bất đẳng thức ( ** )
Như vậy còn sót trường hợp m = 1chưa xét. Tức là ta phải giải bài toán khi m = 1
Bài toán VI:
«  Cho n số dương n
thõa mãn :
Tìm GTNN của biểu thức
F

=
Với k là số nguyên dương cho trước’’ và

là tổng của( n-1) số trong các tập con gồm ( n-1 ) phần tử của
 »
Bạn đọc hãydùng bất đẳng thức Bu nhi akop ski để giải bài toán VI xem như một bài tập bổ ích
Và xin hẹn gặp lại !