CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x
(a;b),ta có: F’(x) = f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b)
Ta viết :
f(x)= F’(x)
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a)
b)
,(a
0)
c)
[f(x)+g(x)]dx=
f(x)dx+
g(x)dx
d)
f(t)dt= F(t) + Cf(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
 Nguyên hàm của các hàm số hợp

1.
dx= x+C
2.

+C
3.

= ln
+C
4.
exdx= ex+ C
5.
axdx =
+C , (0 < a
1)
6.
cosx dx= sinx +C
7.
sinxdx = -cosx +C
8.
= tgx +C
9.
=-cotgx+C
10.
+C
11.
+C
12.
tgxdx= -ln
+C
13.
cotgxdx= ln
+C
14.

+C
15.
+C
16.


+C
17.

18.

19.



1.
du= u+C
2.

+C
3.

= ln
+C
4.
eudu= eu+ C
5.
audu =
+C , (0 < a
1)
6.
cosudu= sinu +C
7.
sinudu = -cosu +C
8.
= tgu +C
9.
=-cotgu+C
10.
+C
11.
+C
12.
tgudu= -ln
+C
13.
cotgudu= ln
+C
14.

+C
15.
+C
16.


+C
17.

18.

19.





Chứng minh một số công thức cơ bản :
10.
+C
11.
+C
Chứng minh :
10. Ta có :



11.Ta có :cosx= sin(x+
)=
kết quả
14C
Ta có :

Do đó :I=

15.
+C
Ta đặt :


16.

+C

Ta đặt:


















VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=



*Sử dụng đồng nhất thức :x=

Hoặc :
*

VD1 :Tính I=

Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)




Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x


VD2 :Tính J=

Tương tự :
VD3 : Tính K=

HD :
Ta có :

Cách 2 :
Ta có :


VD4 : Tính J =

HD :
Sử dụng đồng nhất thức : x
VD 5 :Tính K=

HD :
Sử dụng đồng nhất thức :


VD 6 : Tính H =

HD :
Sử dụng đồng nhất thức :


( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...)
VD 7 : Tính A=

HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1


Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt




VD8 : Tính B=

HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1




Cách 2 :
Đặt :