ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ
Đề thi Học sinh giỏi THPT –
----------------o0o--------------

Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5).
d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến.
Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
.
b)
.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

.
b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x.
(1 + 2cosx(+ (1 + sin2x(( 2m – 1.
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:

.
b) Tính tích phân:
.
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E1):
, (E2):
và parabol (P): y2 = 12x.
a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P).
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
. M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ( MD. Tính tỉ số
.
---------


ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ
Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán
----------------o0o--------------

Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.

CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM

1
1a
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0 (
.
( Hàm số đồng biến trên các khoảng (-(; -2) và (0; +(); hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5).
+ Giới hạn:
( đồ thị hàm số không có tiệm cận.
+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0 ( x = -1.
( Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-(; -1), lõm trên khoảng (-1; +() và có điểm uốn là (-1; 3).
+ Bảng biến thiên:
x -( -2 -1 0 +(
y’ + 0 - - 0 +
5 +(
y 3
-( 1
- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5). Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng.


0,25





0,25

0,25




0,25



0,25









0,25


1b
 Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
( x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a
( số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có:
- Phương trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1.
- Phương trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1.
- Phương trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5.
Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1 ( f(m) cũng có đồ thị là (C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:
- a > 5 ( m > 1; a = 5 ( m = 1 hoặc m = -2
- a < 1 ( m < -3; a = 1 ( m = -3 hoặc m = 1.
- 1 < a < 5 ( -3 < m