BÀN VỀ MỞ RỘNG MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
Nguyễn Tiến Minh giáo viên toán THPT Hồng Lam – Hà Tĩnh
Nguyễn Văn Quý – Sinh viên ĐHKHTN Hà Nội
Trong Kì thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2011 có bài toán sau.
Bài toán 1. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức :


( 1)
Trong đáp án chính thức của Bộ Giáo Dục Đào tạo đã đưa ra lời giải bài toán (1) bằng phép quy nạp . Sau đó trên báo Toán học tuổi trẻ số 412 tháng 10 -2011 đã mở rộng bài toán 1 cho 2 số dương và n là số mũ thực theo phương pháp hàm số có sử dụng bất đẳng thức Becnuli.
Bài viết này có ý định xem xét việc mở rộng bài toán cho nhiều biến dương và số mũ n trong tập hợp các số nguyên dương theo một cách tiếp cận khác .
Trước hết ta sẽ mở rộng BĐT ( 1 ) cho hai biến .
Bài toán 2.Cho k là số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x và y ta có bất đẳng thức :

( 2)
Ta chú ý rằng " bậc" của vế trái là:( k +k + k +1)- k = 2k +1 = "bậc` của vế phải, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x + y = 2 . Từ đó để giải bài toán 2 tương đương việc giải bài toán 3 sau đây.
Bài toán 3.Cho k là số nguyên dương. Chứng minh rằng với 2 số thực dương x và y thõa mãn x + y = 2. ta có bất đẳng thức :

. ( 3)
Gọi F =

Ta sẽ chứng minh BĐT ( 3) bằng quy nạp F

Với k = 1. ta cần chứng tỏ xy (

Thật vậy
xy(
bất đẳng thức (3) đúng.
Giả sử bất đẳng thức ( 3) đúng với n = k



Khi đó với n = k+1 ta có

.
BĐT (3 ) đúng tức là bài toán 3 được giải quyết. bây giờ ta đặt vấn đề liệu có bài toán sau cho n biến hay không? Ta có:
Bài toán 4.
Cho n số thực dương x
thõa mãn:
và k là số nguyên dương
Liệu có

( 4) hay không ? Tôi đã chứng minh được tính đúng đắn của bất đẳng thức này bằng một lời giải khá phức tạp
Sau một thời gian khá dài tôi đã đưa bất đẳng thức (4) này lên mạng diễn đàn toán học . Thật may mắn tác giả Nguyễn Văn Quý là sinh viên ĐHKHTN Hà nội đã đưa ra một lời giải đẹp hoàn toàn giản dị cho bất đẳng thức (4). Sau đây là lời giải bất đẳng tức (4) của Nguyễn Văn Quý













( 4 ) thực sự đúng thì khi đó với n số dương
tùy ý
Ta đặt
từ bất đẳng thức trong bài toán 4 ta lần lượt thay
bởi
ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 5 ( tổng quát ). Cho n số thực dương ( n

. k là số thực không bé thua 1, thì ta có bất đẳng thức sau:


Việc mở rộng bài toán thi hsg quốc gia 2011 đã hoàn tất.Rất hy vọng chờ những sáng tạo mới từ các bạn yêu toán!
...............................................................................